（ 2019年高考全国I卷

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20.已知函数,为的导函数.证明：

(1)在区间存在唯一极大值点;

(2)有且仅有2个零点.

-慧心学9984法司升法技软4828元广科有4799件途b4df0a83东限是网公cc6ff1a2优

答案：

略

公cc6ff1a2习学9984法习司东a97e慧心法科af06根技41c8件途b4df0a83学有4799元b2b3软4828广优46bc-74abc1b8网法升法方b9e6ad7b限是解答：

(1)对进行求导可得，，

取，则,

在内为单调递减函数，且，所以在内存在一个，使得，所以在内，为增函数;在内，为减函数，所以在在区间存在唯一极大值点;

有4799bd52广技41c8元b2b3a51a量东a97e心软4828心优46bc科af06根司升法方b9e6ad7b-74abc1b8公cc6ff1a2习途b4df0a83学限是bf3bb06d的慧心法网法件061bfeac1f151552学9984法习 (2)由(1)可知当时，单调增，且，可得

则在此区间单调减;

当时，单调增，且，则在此区间单调增;又则在上有唯一零点.

当时，单调减，且，则存在唯一的，使得，在时，，单调增;当时，单调减，且，所以在上无零点;

广东a97e心途b4df0a83学件061bfeac1f151552慧心法限是bf3bb06d的优46bc软4828心高网法学9984法习升法方b9e6ad7b7a3c科af06根-74abc1b8有4799bd524662司方技41c8公cc6ff1a2习元b2b3a51a量

当时，单调减，单调减，则在上单调减,,所以在上存在一个零点.

当时，恒成立，则在上无零点.

综上可得，有且仅有2个零点.