高中数学——用导数法求解中点弦问题

2019年09月23日浏览：

利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题，是高中数学繁难问题的一种通用解题方法。

1. 利用导数求解切线方程

利用导数的几何意义，把二次曲线方程看作：y是x的函数，利用复合函数求导法则，可轻松求出切线的斜率。如对圆，两边对x求导，则有，所以在切点(m，n)处的切线斜率-。从而求出切线方程是。类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程。

2. 利用求导法求解中点弦问题

如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切(如图1)。此时缩小的曲线方程如，两边对x求导，可发现并不改变原方程求导的结果。因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是在中点处的值。

图1

应用

1. 求中点弦方程

例1. 已知双曲线方程，求以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;(2)过点B(1，1)，能否作直线，使与所给双曲线交于P、Q两点，且点B是弦PQ的中点?这样的直线如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由。

解：对两边求导，得

(1)以A(2，1)为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为

即。

但与双曲线方程联立消去y得，无实根。因此直线与双曲线无交点，所以满足条件的直线不存在。

说明：(1)求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。

2. 证明与中点弦有关的不等式

例2. 已知椭圆，A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，求证：。

证明：设AB的中点是P(m，n)，则中点P在椭圆内，

所以①

对椭圆两边求导

有，得

故中点弦AB的斜率，所以线段AB的垂直平分线斜率满足：

，得。

代入①式得。

3. 求与中点弦有关的轨迹问题

例3. 已知定点A(0，2)，椭圆，过A任意引直线与椭圆交于两点P、Q，求线段PQ中点的轨迹方程。

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解：设线段PQ的中点为M(x，y)。

对椭圆两边求导，得

所以的斜率为。又，

所以。

化简即得(在椭圆内的部分)。

4. 求与中点弦有关的对称问题

例4. 求抛物线上不存在关于直线对称的两点，求m的取值范围。

解：(1)当时，曲线上不存在关于直线对称的两点。

(2)当m≠0时，假设存在关于直线对称的两点，设这两点的中点为A(a，b)，则A必在抛物线内，所以。①

对两边求导，得，所以中点弦的斜率为。 ②

将点A(a，b)坐标代入得

③

由①②③得

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即

又恒成立，

所以

故时满足题意。

综上(1)(2)，m取值范围是。