16.如图,在四棱锥P–ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且.
(Ⅰ)求证:CD⊥平面PAD;
(Ⅱ)求二面角F–AE–P的余弦值;
(Ⅲ)设点G在PB上,且.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;
慧f1fffc13有升费95bf技司dc33def0-bbeecba9fbd8件b804科术软45ca限元高优东途费广径习公学网
(Ⅱ);
(Ⅲ)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值;
(Ⅲ)首先求得点G的坐标,然后结合平面AEF的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.
【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,则PA⊥CD,
由题意可知AD⊥CD,且PA∩AD=A,
东9f61软45ca是慧f1fffc13网升费95bf司dc33def0452525c4-bbeecba9fbd8径元高学4da0有得6033途费限技4b1e0aec公41ed452fb865广径习优学件b804费学科术学 由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点,平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴,AD,AP方向为y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
易知:,
由可得点F的坐标为
,
由可得
,
设平面AEF的法向量为:,则
,
据此可得平面AEF的一个法向量为:,
很明显平面AEP的一个法向量为,
,
慧f1fffc13公41ed452fb865途费有得60334ce3软45ca是司dc33def0452525c44652c885升费95bf元高学4da0限法东9f6191ef件b804费学a2d4科术秀a53d5923广径习学上技4b1e0aec-bbeecba9fbd8径根网优学
二面角F-AE-P的平面角为锐角,故二面角F-AE-P的余弦值为.
(Ⅲ)易知,由
可得
,
则,
注意到平面AEF的一个法向量为:,
其且点A在平面AEF内,故直线AG在平面AEF内.