12.雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

(1)质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。

____

(2)将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr²v²，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。

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a.设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度v_m与半径r的关系式;

____

b.示意图中画出了半径为r₁、r₂(r₁>r₂)的雨滴在空气中无初速下落的v–t图线，其中_________对应半径为r₁的雨滴(选填①、②);若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v–t图线。

( )

(3)由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f ∝v²(提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m₀)。

________

【答案】 (1).  (2).   (3). ①   (4).  (5). 详见解析

【解析】

【分析】

(1)对雨滴由动能定理解得：雨滴下落h的过程中克服阻做的功;

(2) 雨滴的加速度为0时速度最大解答;

(3)由动量定理证明

【详解】(1)对雨滴由动能定理得：

解得：;

(2)a.半径为r的雨滴体积为：，其质量为

当雨滴的重力与阻力相等时速度最大，设最大速度为，则有：

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其中

联立以上各式解得：

由可知，雨滴半径越大，最大速度越大，所以①对应半径为的雨滴，

不计空气阻力，雨滴做自由落体运动，图线如图：

;

(3)设在极短时间内，空气分子与雨滴碰撞，设空气分子的速率为U，

在内，空气分子个数为：，其质量为

设向下为正方向，对圆盘下方空气分子由动量定理有：

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对圆盘上方空气分子由动量定理有：

圆盘受到的空气阻力为：

联立解得：。