21.已知曲线
，D为直线
上的动点.过D作C的两条切线,切点分别是A,B,
(1)证明：直线AB过定点;
(2)若以
为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
答案：
见解析;
解答：
(1)当点D在
时，设过D的直线方程为
，与曲线C联立化简得
，由于直线与曲线相切，则有
，解得
，
并求得A,B坐标分别为
，所以直线AB的方程为
;
当点D横坐标不为0时，设直线AB的方程为
(
)，由已知可得直线AB不过坐标原点即
，联立直线AB方程与曲线C的方程可得，
，
消y并化简得
，∵有两个交点∴
，
设
，
，根据韦达定理有，
，
，
升d69f慧学费-b8017b690544元限方技4ff4东41ef高cd7c93304a9d86cec5357537学75b0b0e0件软fba34ca9术途秀4255点网术广司学优f18ac711公费点科有心
由已知可得曲线C为抛物线等价于函数
的图像，
则有
，则抛物线在
上的切线方程为
①，
同理，抛物线在
上的切线方程为
②，
联立①，②并消去x可得
，
由已知可得两条切线的交点在直线
上，则有
，
化简得，
，∵
，∴
，
学75b0b0e0慧学费0fcde962的-b8017b690544广软fba34ca9术东41ef高cd7c93304a9d86cec5357537网术有心西e42b147d升d69fccfe科优f18ac711限方技4ff4公费点途秀4255点元件司学
即
，即为
，解得
，经检验满足条件，
所以直线AB的方程为
过定点
，
综上所述，直线AB过定点得证.
(2)由(1)得直线AB的方程为，
当
时，即直线AB方程为
，此时点D的坐标为
，
以
为圆心的圆与直线AB相切于
恰为AB中点，
此时
;
当
时，直线AB方程与曲线方程联立化简得
，
网术高a257慧学费0fcde962的点广公费点件4135司学-b8017b690544科升d69fccfe西有心西e42b147d优f18ac711技4ff4软fba34ca9术41ab元东41ef高cd7c93304a9d86cec5357537秀学75b0b0e0b1bf4628途秀4255点a93b智限方
，
，
，
则AB中点坐标为
，
由已知可得
，即
，
解得，
，
由对称性不妨取
，则直线方程为
，
求得D的坐标为，
，
E到直线AB距离
，D到直线AB距离
，
则
，
综上所述，四边形ADBE的面积为3或
.