解三角形问题是个难点,怎样才能突破这个难点呢?只有正确理解三角形中的边角关系,即三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系,才能克服这个难点。下面就解三角形问题中的常见错误进行分析。
一、不注意三角形的边角关系,造成角的范围变化而致错
例1 在△ABC中,,试判断三角形的形状。
错解:由,得2B=2A,所以A=B,知此三角形为等腰三角形。
分析:上面的式子不是等价变换,未考虑三角形中角的范围而致错。由已知得2B=2A或,所以A=B或
。
故△ABC是等腰三角形或直角三角形。
例2 A、B、C为△ABC的内角,且,
,求
的值。
错解:由,知
,得
,
,知
,所以
,从而
或
。
分析1:由于,
,故
,两边乘以
外接圆的直径2R,得
。
故角B一定是锐角,于是,知
。
分析2:由且
,而余弦函数在
上为减函数,得
,由
,得
或
。所以
或
(不合题意),显然B为锐角。(以下过程请同学们自己做一做)
为了得到第三种解法,下面给出一个命题。
命题:在△ABC中,给定角A、B的正弦值或余弦值,则角C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是。
证明:角C有解
故判断角C是否有解,只需考虑的符号。
分析3:利用上面的命题可轻易得解,当时,
,此时角C无解;当
时,
,此时角C有解,故
。
二、讨论问题不彻底而致错
例3 已知△ABC中,,AB=
,AC=2,求△ABC的面积。
错解:由正弦定理得,所以
,得
,故
。
分析:实际上,由可得
或
,因为它们都满足“大边对大角,小边对小角”的条件。
由正弦定理得,又因AB>AC,所以
或
。
当时,
,于是
,当
时,
,于是
。
科公01593090网4197法司优方2646广心软点4fc5有元径习升61a5限a40915c7途习技心学9c0a费慧-b226件41eb东404e
故△ABC的面积是或
。
三、忽视取最值条件而致错
例4 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,D是BC边上一点,AD⊥BC,垂足为D且AD=BC=a,求的最大值。
错解:
(
由
所确定)。
∴的最大值是
。
分析:在上述错解中,*式等号成立的条件是当且仅当,
,即
,当
时,∠CAD和∠BAD两者必有一个其正切值大于
,而当BD=DC时,
,无论哪种情况必有
,就是说*式中等号不能成立。
设,则
,
当点D、C重合时,当点D、B重合时
,故
。
显然x=1时,,当
时,由函数单调性定义知
递减,当
时,
递增,所以
的最大值在
或
时取得,因
,所以
的最大值是
。
限a40915c7学9c0a费d01b慧b3431350广心公01593090习上有升61a5d504件41eb根网4197法优方2646-b226e0b4af02科途习19135dc9东404e元径习点司法技心软点4fc5 四、忽视构成三角形的条件而致错
例5 a、a+1、a+2为钝角三角形的三边,求a的范围。
错解:a+2为最大边,设它的对角为,由余弦定理知
,得a<3,所以0<a<3。
分析:此解法是不完整的,只考虑最大边a+2的对角为钝角,没有注意a、a+1、a+2三边能否构成三角形,因此还应该注意“三角形中的两边之和大于第三边”这个隐含条件。由上述解法并结合a+2<a+(a+1)知a>1,故a的范围是1<a<3。
从上述各例中,我们可以看到忽视各种条件对角范围的制约,就可能导致错解。因此在三角形问题中,要认真审题,洞察和显化隐含条件,只有这样才能提高解题的正确率。