高中数学——解三角形问题中的常见错解分析

2020年09月12日 浏览:

解三角形问题是个难点,怎样才能突破这个难点呢?只有正确理解三角形中的边角关系,即三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系,才能克服这个难点。下面就解三角形问题中的常见错误进行分析。

一、不注意三角形的边角关系,造成角的范围变化而致错

例1 在△ABC中,,试判断三角形的形状。

错解:由,得2B=2A,所以A=B,知此三角形为等腰三角形。

分析:上面的式子不是等价变换,未考虑三角形中角的范围而致错。由已知得2B=2A或,所以A=B或

故△ABC是等腰三角形或直角三角形。

例2 A、B、C为△ABC的内角,且,求的值。

错解:由,知,得,知,所以,从而

分析1:由于,故,两边乘以外接圆的直径2R,得

故角B一定是锐角,于是,知

分析2:,而余弦函数在上为减函数,得,由,得。所以(不合题意),显然B为锐角。(以下过程请同学们自己做一做)

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为了得到第三种解法,下面给出一个命题。

命题:在△ABC中,给定角A、B的正弦值或余弦值,则角C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是

证明:角C有解

故判断角C是否有解,只需考虑的符号。

分析3:利用上面的命题可轻易得解,当时,,此时角C无解;当时,,此时角C有解,故

二、讨论问题不彻底而致错

例3 已知△ABC中,,AB=,AC=2,求△ABC的面积。

错解:由正弦定理得,所以,得,故

分析:实际上,由可得,因为它们都满足“大边对大角,小边对小角”的条件。

由正弦定理得,又因AB>AC,所以

时,,于是,当时,,于是

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故△ABC的面积是

三、忽视取最值条件而致错

例4 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,D是BC边上一点,AD⊥BC,垂足为D且AD=BC=a,求的最大值。

错解:

(所确定)。

的最大值是

分析:在上述错解中,*式等号成立的条件是当且仅当,即,当时,∠CAD和∠BAD两者必有一个其正切值大于,而当BD=DC时,,无论哪种情况必有,就是说*式中等号不能成立。

,则

当点D、C重合时,当点D、B重合时,故

显然x=1时,,当时,由函数单调性定义知递减,当时,递增,所以的最大值在时取得,因,所以的最大值是

限a40915c7学9c0a费d01b慧b3431350广心公01593090习上有升61a5d504件41eb根网4197法优方2646-b226e0b4af02科途习19135dc9东404e元径习点司法技心软点4fc5 四、忽视构成三角形的条件而致错

例5 a、a+1、a+2为钝角三角形的三边,求a的范围。

错解:a+2为最大边,设它的对角为,由余弦定理知,得a<3,所以0<a<3。

分析:此解法是不完整的,只考虑最大边a+2的对角为钝角,没有注意a、a+1、a+2三边能否构成三角形,因此还应该注意“三角形中的两边之和大于第三边”这个隐含条件。由上述解法并结合a+2<a+(a+1)知a>1,故a的范围是1<a<3。

从上述各例中,我们可以看到忽视各种条件对角范围的制约,就可能导致错解。因此在三角形问题中,要认真审题,洞察和显化隐含条件,只有这样才能提高解题的正确率。