立体几何是培养空间想象能力。面对异面直线问题不知如何构造线线关系、线面关系利用有关定理解题，这时我们可以通过构造几何体如长方体来解决问题。

一、线面综合性选择填空题

有关线线、线面综合性选择填空题主要是考查立几的基本概念，学生易入手，但又易出错，得分率一直较低。为了提高做题的准确性，我们可以引导学生充分利用学过的几何体如长方体等来解答问题。

例1. 已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：

(1)若α//β，，则m//n。

(2)若m，，则α//β。

(3)若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β。

(4)m、n是两条异面直线，若m//α，m//β，n//α，则α//β。

上面命题中，真命题的序号是_____________________(写出所有真命题的序号)

解：构造长方体如图所示，取ABCD为α，为β，AB为m，为n，则(1)不成立。

图1

取ABCD为α，CDD’C’为β，AB为m，EF为n，E、F分别是BC、AD的中点，则(2)不成立。

取ABCD为α，A’B’C’D’为β，AA’为m，BB’为n，由，，m//n，则n⊥β故α//β，(3)成立。

取ABCD为α，A’B’C’D’为β，MN为m，GH为n，其中M、N分别为DD’、BB’的中点，H、G分别在BB’、CC’上，且GH//BC，N、H不重合，则BC//β，BD//β，故α//β，(4)成立，从而真命题的序是(3)(4)。

例2. 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：

(1)若，，，则l与m不共面;

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(2)若m、l是异面直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α;

(3)若l//α，m//β，α//β，则l//m;

(4)若l，，，，，则α//β。

其中为假命题的是( )

A. (1)

B. (2)

C. (3)

D. (4)

解：构造长方体如图2所示。

图2

取ABCD为α，AA’为l，BC为m，则l、m是异面直线，故(1)成立

取ABCD为α，A’B’为l，EF为m，E、F分别是BB’，CC’的中点，BB’为n，则n⊥AB，m⊥BC故n⊥α，(2)成立。

取ABCD为α，A’B’C’D’为β，EF为m，FG为l，E、F、G分别是中点，则EF与FG相交，则(3)不成立。故选(C)。

二、三条直线相互异面的问题

例3. 三条直线a、b、c两两异面，作直线l与三条直线都相交，则直线l可以作多少条?

解：构造长方体如图3所示，取直线AB为a，DD’为b，C’E为c，其中E为BC的中点，则a、b、c两两异面，由于直线DE与AB相交，故DE与三异面直线同时相交。过AB作平面交DD’、CC’、EC’分别于F、G、H，当G与C’不重合时，直线FH必与AB相交，即FH与三异面直线同时相交，又过AB作满足条件的平面有无数个，故与三异面直线同时相交的直线有无数条。

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图3

三、异面直线在一平面内的射影问题

例4. 设a、b是空间的两条直线，它们在平面α上的射影是两条相交直线，它们在平面β上的射影是两条平行直线，它们在平面上的射影是一条直线与直线外一点，则这样的平面有( )

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个

解：构造长方体如图4所示，取为a，为b，而为α，ABCD为β，则ADD’A’为，故与平行的平面都满足题意，故平面有无数个，选(D)。

图4

四、异面直线所成角与距离问题

例5. 已知AA’是异面直线a、b的公垂线，a、b所成的角为60°，在直线a上取A’P=8cm，AA’=4cm，求点P到直线b的距离。

解：如图5所示，构造长方体使∠CAB=60°，AA’=4，P是A’C’上一点，A’P=8，则A’C’可看做直线a，AB为直线b，AA’是a、b的公垂线段，连结AC，则AC//A’C’，∠CAB即a、b所成的角，作于E，EF⊥AB于F，则PF⊥AB，故PF即所求距离。

点P到直线b的距离是8cm。

图5

五、与异面直 线成等角的直线问题

例6. 异面直线a、b成60°角，过空间中的一点P作直线与a、b都成70°角，则可以作出多少条这样的直线?

解：构造长方体，使P为的对角线的交点，且，，∠A’PD’=60°。故只须看过P点可作多少条直线与A’C’，B’D’都成70°角。如图6所示M、M’、N、N’、G、G’、H、H’分别是所在直线的中点，由∠MPD’=∠MPA’=30°<70°，∠NPA’=∠NPB’=60°<70°，故MG上有点E，使∠EPD’=∠EPA’=70°，同理，NH、N’H’上也有相应的点F、F’使FP、F’P与直线A’C’、B’D’都成70°角。综上，共有四条直线与a、b都成70°角。

图6

推广：设异面直线a、b所成的角为α，P为空间中的任一点，过点P作直线l与a、b都成角，则l可以作多少条?

结论：当时，有且只有一条;

当，若，则时，l有2条;