（ 2020年中考广东省 ）

22.如题22图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD.

(1)求证：直线CD与⊙O相切;

(2)如题22﹣2图，记(1)中的切点为E，P为优弧上一点，AD=1，BC=2，求tan∠APE的值.

【答案】

(1)证明：过点O作OE⊥CD交于点E

∵AD∥BC，∠DAB=90°

∴∠OBC=90°即OB⊥BC

∵OE⊥CD，OB⊥BC，CO平分∠BCD

∴OB=OE

东公有法6f05b4de限升-916f广学件慧根元方科优途4be1网软1c767242司a22c心技

∵AB是⊙O的直径

∴OE是⊙O的半径

∴直线CD与⊙O相切

(2)连接OD，OE

∵由(1)得，直线CD，AD，BC与⊙O相切

∴由切线长定理可得AD=DE=1，BC=CE=3，

∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO

∴∠AOD=∠EOD，CD=3

∵AE(⌒)=AE(⌒)

∴∠APE=∠AOE=∠AOD

∵AD∥BC

∴∠ADE+∠BCE=180°

网智公优高件技司a22c心aa16量-916f学术广限b3d2dcf89f43科术升9cc85315元方西途4be1bb515e2e8f47慧根软1c767242有法6f05b4de东

∴∠EDO+∠ECO=90°即∠DOC=90°

∵OE⊥DC，∠ODE=∠CDO

∴△ODE∽△CDO

∴即

∴OD=

∵在Rt△AOD中，AO=

∴tan∠AOD==

∴tan∠APE=

【解析】无切点作垂直证半径，切线长定理，直角三角形的判定，相似三角形的运用、辅助线的作法

【考点】切线的判定、切线长定理、圆周角定理、相似三角形、三角函数

编辑：小徐