19.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°.

网f372bff2公广点升途-0b682c0b慧元件软有27ced50f优39c823d2方限东习学点847c技径科费1a3e1360司

(1)证明：平面PAB⊥平面PAC;

(2)设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P?ABC的体积.

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】

【分析】

(1)根据已知可得，进而有，可得，即，从而证得平面，即可证得结论;

学点847c软广点上升有27ced50fa7cb网f372bff2技径途限优39c823d2方件东习习量慧-0b682c0b司5eb5c08d3d34元公科费1a3e1360 (2)将已知条件转化为母线l和底面半径r的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC边长，在等腰直角三角形APC中求出AP，在中，求出PO，即可求出结论.

【详解】(1)QD为圆锥顶点，O为底面圆心，平面ABC，

QP在DO上，，

是圆内接正三角形，，，

，即，

平面平面PAC，平面平面PAC;

(2)设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为，

东习习量学点847c-0b682c0b技径径29316a48件7ded91c9优39c823d2方公46cb慧得有27ced50fa7cb网f372bff2科费1a3e1360软元限途广点上司5eb5c08d3d34升，解得，，

在等腰直角三角形APC中，，

在中，，

三棱锥的体积为.

【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.