19.已知为等差数列，为等比数列，.

(Ⅰ)求和的通项公式;

(Ⅱ)记的前n项和为，求证：;

有科东根途4496点45fdb8fb540a元术是件8c0c学e1f41c13升广-4f28软优司限方慧网公高技 (Ⅲ)对任意的正整数n，设求数列的前2n项和.

【答案】(Ⅰ)，;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ).

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果;

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可;

(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.

【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.

由，，可得d=1.

-4f28广慧西软技元术是b31f司费bdb6方途4496点45fdb8fb540a限方5459ab5a东根454d学e1f41c1353ae量升有a44689aa件8c0c网49fa公高智优费科 从而的通项公式为.

由，

又q≠0，可得，解得q=2，

从而的通项公式为.

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，

故，，

从而，

所以.

(Ⅲ)当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

优费219d5932公高智技习-4f28有a44689aa件8c0c软445c东根454d科司费bdb6方量43e8网49fa元术是b31f途4496点45fdb8fb540a94a9广慧西西学e1f41c1353ae量术限方5459ab5a升

对任意的正整数n，有，

和①

由①得②

由①②得，

由于，

从而得：.

因此，.

件8c0c费0b1d-4f28广元术是b31f司费bdb6方量43e8心学e1f41c1353ae量术技习9f8a慧西西4d0c升限方5459ab5a东根454d上网49fa优费219d5932有a44689aa48cc软445c公高智途4496点45fdb8fb540a94a9科 所以，数列的前2n项和为.

【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.