（ 2020年高考浙江卷 ）

19.如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC.

(I)证明：EF⊥DB;

(II)求DF与面DBC所成角的正弦值.

【答案】(I)证明见解析;(II)

途软034d科4fa4限0c7b公优的高a1d1fb9e东学费广元高司-径技根9d8b件有a2a7升慧664b网【解析】

【分析】

(I)作交AC于H，连接BH，由题意可知平面ABC，即有，根据勾股定理可证得，又，可得，，即得平面BHD，即证得;

(II)由，所以DF与平面DBC所成角即为CH与平面DBC所成角，作于G，连接CG，即可知即为所求角，再解三角形即可求出DF与平面DBC所成角的正弦值.

【详解】(Ⅰ)作交AC于H，连接BH.

∵平面平面ABC，而平面ADFCI平面ABC=AC，平面ADFC，

∴平面ABC，而平面ABC，即有.

∵，

∴.

在中，，即有，∴.

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由棱台的定义可知，，所以，，而，

∴平面BHD，而平面BHD，∴.

(Ⅱ)因为，所以DF与平面DBC所成角即为与CH平面DBC所成角.

作于G，连接CG，由(1)可知，平面BHD，

因为所以平面平面BHD，而平面平面，

平面BHD，∴平面BCD.

即CH在平面DBC内的射影为CG，即为所求角.

在中，设，则，，

∴.

故DF与平面DBC所成角的正弦值为.

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【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题.