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2022年高考全国乙卷
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21. 已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过两点.
(1)求E的方程;
(2)设过点P(1,2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足.证明:直线HN过定点.
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【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)将给定点代入设出的方程求解即可;
(2)设出直线方程,与椭圆C的方程联立,分情况讨论斜率是否存在,即可得解.
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【小问1详解】
解:设椭圆E的方程为,过
,
则,解得
,
,
所以椭圆E的方程为:.
【小问2详解】
,所以
,
①若过点P(1,2)的直线斜率不存在,直线x=1.代入,
可得,
,代入AB方程
,可得
,由
得到
.求得HN方程:
,过点(0,-2).
②若过点P(1,2)的直线斜率存在,设.
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联立得
,
可得,
,
且
联立可得
可求得此时,
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将(0,-2),代入整理得
将代入,得
显然成立,
综上,可得直线HN过定点(0,-2)
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种:
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
编辑:小徐