（ 2022年高考全国乙卷 ）

21. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点.

(1)求E的方程;

(2)设过点P（1,2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足.证明：直线HN过定点.

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【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】(1)将给定点代入设出的方程求解即可;

(2)设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

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【小问1详解】

解：设椭圆E的方程为，过，

则，解得，，

所以椭圆E的方程为：.

【小问2详解】

，所以，

①若过点P（1,2）的直线斜率不存在，直线x=1.代入，

可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点（0，-2）.

②若过点P（1,2）的直线斜率存在，设.

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联立得，

可得，，

且

联立可得

可求得此时，

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将（0，-2），代入整理得，

将代入，得显然成立，

综上，可得直线HN过定点（0，-2）

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关;

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

编辑：小徐