等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

(1)若公差d>0，则为递增等差数列;若公差d<0，则为递减等差数列;若公差d=0，则为常数列;

(2)有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和;

(3)m，n∈N*，则am=an+(m-n)d;

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(4)若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap;

(5)若数列{an｝，{bn｝均是等差数列，则数列{man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。

(6)仍为等差数列，公差为-d。

(7)从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即

(8)仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a₁）

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对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列.

②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有还有

③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列(也是等差数列);当d>0时，数列为递增数列;当d<0时，数列为递减数列;

④d=a_n-a_n-1或d=a_n+1-a_n是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据;

⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题;

(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键;

(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’).

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