（ 2021年高考北京卷 ）

17. 已知正方体，点E为中点，直线交平面CDE于点F.

(1)证明：点F为的中点;

(2)若点M为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值.

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】

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【分析】(1)首先将平面CDE进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论;

(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.

【详解】(1)如图所示，取的中点，连结，

由于为正方体，为中点，故，

从而四点共面，即平面CDE即平面，

据此可得：直线交平面CDE于点，

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点重合，

即点F为中点.

(2)以点D为坐标原点，方向分别为x轴，y轴，z轴正方形，建立空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为2，设，

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则：，

从而：，

设平面MCF的法向量为：，则：

，

令可得：，

设平面CFE的法向量为：，则：

，

令可得：，

从而：，

则：，

司点件-上升优慧a3702559技42df的是网cca7智82da公途量90b2广bd87径东心点限4b3c9f7d心费学5f5c法软a39d科847bff97有c55ad99e元智

整理可得：，故(舍去).

【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

编辑：小徐