（ 2021年高考天津卷 ）

20. 已知a>0，函数.

(I)求曲线在点处的切线方程：

公科429d元司东a144-智有慧升件技广优网限途学软 (II)证明存在唯一的极值点

(III)若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围.

【答案】(I);(II)证明见解析;(III)

【解析】

【分析】(I)求出在x=0处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程;

(II)令，可得，则可化为证明y=a与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解;

(III)令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.

【详解】(I)，则，

-智17f0b483有方件慧根网软b5d7优439a学b283广升是元法限途点公技的42ec司71c01df9科429d东a144

又，则切线方程为;

(II)令，则，

令，则，

当时，，单调递减;当时，，单调递增，

当时，，，当时，，画出大致图像如下：

公慧根件813a科429d28c3网是秀软b5d7是习升是10394b5a-智17f0b483广有方学b283限462c元法9f25是9a69途点术习技的42ec东a144司71c01df9b20d914f优439a

所以当a>0时，y=a与仅有一个交点，令，则m>-1，且，

当时，，则，单调递增，

当时，，则，单调递减，

x=m为的极大值点，故存在唯一的极值点;

(III)由(II)知，此时，

所以，

慧根学有方途点术习学b283限462c费-智17f0b483费2a3283d94239a633东a144根公元法9f25是9a69419f技的42ec术科429d28c3上网是秀司71c01df9b20d914f升是10394b5a4a47件813a0848a9a2优439a3e1f广法4512软b5d7是习

令，

若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，

，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，故，

优439a3e1f技的42ec术9078升是10394b5a4a474461件813a0848a9a2东a144根9c12有方慧根学-智17f0b483费2a3283d94239a633方网是秀15f5司71c01df9b20d914fa3f6科429d28c3上公广法4512习限462c费途点术习上学b283f0950247方心秀元法9f25是9a69419f软b5d7是习 所以实数b的取值范围.

【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y=a与仅有一个交点;第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.

编辑：小徐