17. 如图，在棱长为2的正方体
中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.
升慧4440广公限元bed9cdbc网点学c8a1有件2522a5b0秀途上-东28f91400科法软技优径dc1b西司
(I)求证：
平面
;
(II)求直线
与平面所成角的正弦值.
(III)求二面角
的正弦值.
【答案】(I)证明见解析;(II)
;(III)
.
【解析】
有科法优径dc1b西习软东28f91400公学c8a1根慧4440限网点4988司b640广途上技-件2522a5b0秀升56c6元bed9cdbc【分析】(I)建立空间直角坐标系，求出
及平面的一个法向量
，证明
，即可得证;
(II)求出
，由
运算即可得解;
(III)求得平面
的一个法向量
，由
结合同角三角函数的平方关系即可得解.
【详解】(I)以A为原点，
分别为
轴，建立如图空间直角坐标系，
则
,
,
,
,
,
,
，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以
，
，
所以
,
,
,
有学c8a1根升56c6-网点4988元bed9cdbce7f9技件2522a5b0秀司b640高科法慧44400977软学东28f91400优径dc1b西习广公途上限
设平面的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
因为
，所以
，
因为
平面，所以
平面;
(II)由(1)得，
，
优径dc1b西习3896件2522a5b0秀4a79升56c6广费公秀-有d39da5cd学c8a1根司b640高网点4988费慧44400977软学途上ebf1df26东28f91400科法20d2e47d技上限秀元bed9cdbce7f9
设直线
与平面所成角为
，
则
;
(III)由正方体的特征可得，平面
的一个法向量为
，
则
，
所以二面角
的正弦值为
.
限秀优径dc1b西习3896网点4988费学途上ebf1df26得慧44400977东28f91400技上科法20d2e47d-学c8a1根a87f929d术e626升56c6元bed9cdbce7f9公秀上46841388软学件2522a5b0秀4a7949c9有d39da5cd司b640高广费
编辑：小徐