19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
，M，N分别为BC,PC的中点，
.
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(1)证明：
;
(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
.
【解析】
有9240bed7网96a94bc08969件078e东西途ded8eb23技学习元方优的司40fd慧的术升限5d1e西软9ced公-科法径a411广98b1
【分析】(1)要证，可证
，由题意可得，
，易证
，从而
平面PDM，即有
，从而得证;
(2)取AD中点E，根据题意可知，
两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量
和平面PDM的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出.
【详解】(1)在
中，DC=1，CM=2，
，由余弦定理可得
，
所以
，
.由题意
且
，
优的软9ced公司40fd途ded8eb23升限5d1e西网96a94bc08969学习431a有9240bed7高技东西aacf件078e慧的术-科法径a411广98b1元方
平面PDM，而
平面PDM，所以
，又
，所以
.
(2)由
，
，而AB与DM相交，所以
平面ABCD，因为
，所以
，取AD中点E，连接ME，则
两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则
,
又N为PC中点，所以
.
由(1)得
平面PDM，所以平面PDM的一个法向量
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从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为
.
【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明
，可以考虑
，
-学慧的术东西aacf的秀45eb途ded8eb23软9ced心网96a94bc08969司40fd元方b129有9240bed7高高d1e5公是升486a件078e技adb9科法径a4114bbf限5d1e西975a学习431a广98b174ce优的
题中与DC有垂直关系的直线较多，易证
平面PDM，从而使问题得以解决;第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出.
编辑：小徐