（ 2024年高考新高考I卷 ）

17. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，.

(1)若，证明：平面PBC;

(2)若，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】(1)先证出平面PAB，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而，再根据线面平行的判定定理即可证出;

软fa02dea8元2eca优公司9f81慧量西科83b22c73网-限东学根件63b8bc6527f8技秀有途秀广升 (2)过点D作于E，再过点E作于F，连接DF，根据三垂线法可知，即为二面角A-CP-D的平面角，即可求得，再分别用AD的长度表示出，即可解方程求出AD.

【小问1详解】

(1)因为平面ABCD，而平面ABCD，所以，

又，，平面PAB，所以平面PAB，

而平面PAB，所以.

因为，所以， 根据平面知识可知，

又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.

【小问2详解】

如图所示，过点D作于E，再过点E作于F，连接DF，

因为平面ABCD，所以平面平面ABCD，而平面平面ABCD=AC，

所以平面PAC，又，所以平面DEF，

根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，

即，即.

公网西优秀费技秀慧量西升件63b8bc6527f8fdb02342-软fa02dea8东元2eca是有智科83b22c7373349623学根途秀广23489a08司9f81限

因为，设，则，由等面积法可得，，

又，而为等腰直角三角形，所以，

故，解得，即.

编辑：小徐