2024年高考全国甲卷(文数)-韦达定理

2024年10月28日 浏览:
2024年高考全国甲卷


18. 设椭圆的右焦点为F,点在C上,且轴.

(1)求C的方程;

(2)过点的直线与C交于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:轴.

软升学afac355f限根网4477元件高慧点4eab广科有途习优9c07技dd63409b-上智司根东公

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)设,根据M的坐标及轴可求基本量,故可求椭圆方程.

(2)设,联立直线方程和椭圆方程,用A,B的坐标表示,结合韦达定理化简前者可得,故可证轴.

【小问1详解】

,由题设有c=1且,故,故a=2,故

故椭圆方程为.

【小问2详解】

直线AB的斜率必定存在,设

可得

,故

有心广9087限根途习db8b81ea高科4f11秀司根是c46c升得径网447789c6学afac355f4518软元东a54c慧点4eabd00744d8-上智高公技dd63409b4652件高优9c07的法

,故直线,故

所以

,即轴.

东a54c优9c07的法费途习db8b81ea高广9087件高是公元40e2限根adc2学afac355f4518升得径科4f11秀慧点4eabd00744d80a9c有心f22e0e83点软-上智高习网447789c6西0df7司根是c46c技dd63409b4652

【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

(1)设直线方程,设交点坐标为;

(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,注意的判断;

(3)列出韦达定理;

(4)将所求问题或题中的关系转化为(或)的形式;

(5)代入韦达定理求解.

编辑:小徐