(
2024年高考全国甲卷
)
18. 设椭圆的右焦点为F,点
在C上,且
轴.
(1)求C的方程;
(2)过点的直线与C交于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:
轴.
软升学afac355f限根网4477元件高慧点4eab广科有途习优9c07技dd63409b-上智司根东公
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)设,根据M的坐标及
轴可求基本量,故可求椭圆方程.
(2)设,
,
,联立直线方程和椭圆方程,用A,B的坐标表示
,结合韦达定理化简前者可得
,故可证
轴.
【小问1详解】
设,由题设有c=1且
,故
,故a=2,故
,
故椭圆方程为.
【小问2详解】
直线AB的斜率必定存在,设,
,
,
由可得
,
故,故
,
又,
有心广9087限根途习db8b81ea高科4f11秀司根是c46c升得径网447789c6学afac355f4518软元东a54c慧点4eabd00744d8-上智高公技dd63409b4652件高优9c07的法
而,故直线
,故
,
所以
,
故,即
轴.
东a54c优9c07的法费途习db8b81ea高广9087件高是公元40e2限根adc2学afac355f4518升得径科4f11秀慧点4eabd00744d80a9c有心f22e0e83点软-上智高习网447789c6西0df7司根是c46c技dd63409b4652
【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:
(1)设直线方程,设交点坐标为;
(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,注意的判断;
(3)列出韦达定理;
(4)将所求问题或题中的关系转化为、
(或
、
)的形式;
(5)代入韦达定理求解.
编辑:小徐