15. 已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是______.

①，均为等差数列，则M中最多一个元素;

②，均为等比数列，则M中最多三个元素;

③为等差数列，为等比数列，则M中最多三个元素;

④单调递增，单调递减，则M中最多一个元素.

【答案】①③④

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【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.

【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，

而两条直线至多有一个公共点，故M中至多一个元素，故①正确.

对于②，取则均为等比数列，

但当n为偶数时，有，此时M中有无穷多个元素，

故②错误.

对于③，设，，

若M中至少四个元素，则关于n的方程至少有4个不同的正数解，

若q>0,q1，则由和的散点图可得关于n的方程至多有两个不同的解，矛盾;

若，考虑关于n的方程奇数解的个数和偶数解的个数，

当有偶数解，此方程即为，

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方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，

否则，因单调性相反，

方程至多一个偶数解，

当有奇数解，此方程即为，

方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即

否则，因单调性相反，

方程至多一个奇数解，

因为，不可能同时成立，

故不可能有4个不同的正数解，故③正确.

升根慧智网元a0a5的b3b8途d63fcfee广科bddd东是司限a61d公32f18687费习软优智abfd技智8d0a-术de824c71件3cf1学有e3a7 对于④，因为为单调递增，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，

后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.

故答案为：①③④

【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.

编辑：小徐