（ 2025年高考全国一卷 ）

14. 一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望_________.

【答案】##2.44

【解析】

【分析】法一：根据题意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得X的分布列，从而求得;法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得.

【详解】法一：依题意，X的可能取值为1、2、3，

总的选取可能数为5³=125，

其中X=1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，

故，

X=2：恰好两种不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，

软高司有公元科途东广8fa1学优点eca38d43-4df5技网慧是件限400e升

选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，

其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况有5x4x3=60种，

故，

X=3：三种不同球被取出，

由排列数可知事件X=3的可能情有况5x4x3=60种，

故，

所以.

故答案为：.

法二：依题意，假设随机变量，其中i=1,2,3,4,5：

其中，则，

由于球的对称性，易知所有相等，

限400e网学科公软高司费件06bb-4df52bc2c91c优点eca38d43元的有广8fa1慧是升9c2d技量东途 则由期望的线性性质，得，

由题意可知，球i在单次抽取中未被取出的概率为，

由于抽取独立，三次均未取出球i的概率为，

因此球i至少被取出一次的概率为：，

故，

所以.

故答案为：.

编辑：小徐