19. (1)设函数
,求
在
的最大值;
(2)给定
，设a为实数，证明：存在
，使得
;
(3)若存在
使得对任意x，都有
，求b的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析 (3)
【解析】
【分析】(1)利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值;或者利用均值不等式可求最大值.
(2)利用反证法可证三角不等式有解;
(3)先考虑
时
的范围，对于
时，可利用(2)中的结论结合特值法求得b，从而可得
的最小值;或者先根据函数解析特征得
，再结合特值法可得，结合(1)的结果可得b的最小值.
【详解】(1)法1：
，
因为
，故
，故
，
当
时，
即
，
途技有限公702e4de4科司软af96-东升元网优慧学件根广
当
时，
即
，
故
在
上为增函数，在
为减函数，
故在
上的最大值为
.
法2：我们有
.
所以：
.
这得到
，同时又有
，
故在上的最大值为，在R上的最大值也是.
(2)法1：由余弦函数的性质得
的解为
，
，
若任意
与
交集为空，
则
且
，此时a无解，
网秀科途-东件根广优限2e20bf9d技司学4e21有公702e4de4升软af96330ae736慧西元
矛盾，故无解;故存在
，使得
，
法2：由余弦函数的性质知
的解为
，
若每个
与
交集都为空，
则对每个，必有
或
之一成立.
此即
或
，但长度为1的闭区间
上必有一整数k，该整数k不满足条件，矛盾.
故存在
，使得
成立.
(3)法1：记
，
因为
，
故
为周期函数且周期为
,故只需讨论
的情况.
当
时，
，
当t=0时，
，
此时
，
令
，则
，
件根元法网秀b639aac040a2优司有智-慧西4916广学4e21心b5ec6cc9限2e20bf9d软af96330ae736高费途得8240科公702e4de4技84c3东升
而
，
，故
，
当
，在(2)中取a=t，则存在
，使得
，
取
，则
，取
即
，
故
，故
，
综上
，可取
，t=0使得等号成立.
综上，
.
法2：设
.
①一方面，若存在t，使得
对任意x恒成立，则对这样的t，同样有
.
所以
对任意x恒成立，这直接得到
.
设
，则根据
恒成立，有
所以
均不超过
，
再结合
，
就得到
均不超过
.
假设
，则
，
司有智途得8240件根东科智限2e20bf9d技84c32728201d公702e4de4元法慧西4916广6c6047e1学优网秀b639aac040a2升学4e21心b5ec6cc9软af96330ae736高费-
故
.
但这是不可能的，因为三个角
和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线
左侧.
所以假设不成立，这意味着
.
②另一方面，若
，则由(1)中已经证明
，
知存在t=0，使得
.
从而满足题目要求.
综合上述两个方面，可知b的最小值是
.
编辑：小徐