第一部分 集合

一、集合的基本概念

1.集合定义

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

元素：小写字母 a,b,c;集合：大写字母 A,B,C。

a∈A：a属于集合A，a是A的元素;

aA：a不属于集合A。

2.集合中元素三大特性(选择题判断集合必考点)

确定性：任何对象，能明确判断属于或者不属于该集合，不能模棱两可。

错误示例：“班里个子高的同学”不能构成集合，标准模糊，不满足确定性。

互异性：集合当中的元素互不相同，同一个元素只能出现一次。

高频坑：已知集合含有参数，求出参数后，一定要回代检验，保证元素互不相等，很多同学漏掉检验导致答案错误。

无序性：集合内部元素没有先后顺序，{1,2,3} 和 {2,1,3} 是同一个集合。

3.常用数集(必须熟记)

N：自然数集 {0,1,2,3,…}(包含0)

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N* 或 N+：正自然数集(正整数){1,2,3,…}

Z：整数集

Q：有理数集

R：实数集

易错区分：N包含0;N*不包含0。

4.集合的表示方法

列举法：把集合元素一一列举，大括号包裹。例：A={1,2,3,4}。

描述法：{x | P(x)}，竖线前面代表元素，竖线后面代表元素满足条件。>

> 重点看清代表元素!

> {x | y=x²} 代表x的取值范围，定义域;

> {y | y=x²} 代表y的取值，值域;

> {(x,y) | y=x²} 代表抛物线上点的集合。

> 很多同学看错代表元素，集合直接理解错误。

图示法(Venn图)：用封闭图形表示集合，多用于集合运算。

5.空集

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不含任何元素的集合叫做空集。

一轮最高频易错点：空集是任何集合的子集;空集是任何非空集合的真子集。

做题遇到子集、包含关系，一定要优先讨论空集情况，大量题目漏解就是忘记空集。

辨析：

：空集，集合里面什么都没有;

{}：这不是空集，集合里面有一个元素，这个元素是空集。

二、集合之间的关系

1.子集

如果集合A中任意一个元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作 AB(或者 BA)。

2.真子集

AB，并且B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，记作 AB。

3.集合相等

AB 且 BA，则 A=B，两个集合元素完全一样。

4.子集个数公式(高频填空选择)

集合A有 n 个元素：

子集个数：2^n

真子集个数：2^n -1(去掉集合本身)

非空子集个数：2^n -1(去掉空集)

非空真子集个数：2^n -2(去掉空集、去掉集合本身)

例题：集合{1,2,3}，3个元素。子集2^3=8个;真子集7个;非空真子集6个。

注意：公式前提，集合元素个数为n，空集元素个数n=0，子集2^0=1，也就是空集的子集只有它自己。

三、集合的基本运算

设集合A、B

1.交集 A∩B

A∩B={x | x∈A 且 x∈B}，取两个集合公共元素。口诀：交集找公共。

2.并集 A∪B

A∪B={x | x∈A 或 x∈B}，把两个集合全部元素合并，重复元素只保留一个。口诀：并集全部合起来。

3.补集(全集U前提下)

U A = {x | x∈U 且 xA}，全集中去掉A的元素，剩下就是A的补集。

运算性质

A∩A=A， A∩=

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A∪A=A， A∪=A

A∩B A， A∩B B;A A∪B， B A∪B

德摩根定律：U(A∩B)=(U A)∪(U B);U(A∪B)=(U A)∩(U B)

集合解题通用步骤

看清代表元素(x?y?点(x,y)?);

化简集合，解不等式、解方程写出集合范围;

出现AB，优先讨论A等于空集的情况!;

借助数轴、Venn图处理交并补运算;

含参数求出结果，回代检验集合元素互异性。

例题：已知集合A={x | -21}，求A∩B，A∪B。解：A∩B={x | 1-2}。

数轴解题小技巧：集合是连续实数范围，一律画数轴，端点实心、空心区分清楚。

来源：飘扬少年的印记

编辑：小徐